Optimization methods in electromagnetic radiation

Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX 1 Arrays of Point and Line Sources, and Optimization . . . . . . . 1 1.1 The Problem of Antenna Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Arrays of Point Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.1 The Linear Array . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2 Circular Arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Maximization of Directivity and Super-gain . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1 Directivity and Other Measures of Performance . . . . . . . 15 1.3.2 Maximization of Directivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4 Dolph-Tschebysheff Arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4.1 Tschebysheff Polynomials. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4.2 The Dolph Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5 Line Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.5.1 The Linear Line Source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5.2 The Circular Line Source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.5.3 Numerical Quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2 Discussion of Maxwell’s Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.2 Geometry of the Radiating Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.3 Maxwell’s Equations in Integral Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.4 The Constitutive Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.5 Maxwell’s Equations in Differential Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.6 Energy Flow and the Poynting Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.7 Time Harmonic Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.8 Vector Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.9 Radiation Condition, Far Field Pattern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.10 Radiating Dipoles and Line Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.11 Boundary Conditions on Interfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 VI Contents 2.12 Hertz Potentials and Classes of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.13 Radiation Problems in Two Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3 Optimization Theory for Antennas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.1 Introductory Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.2 The General Optimization Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.2.1 Existence and Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.2.2 The Modeling of Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.2.3 Extreme Points and Optimal Solutions . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.2.4 The Lagrange Multiplier Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.2.5 Methods of Finite Dimensional Approximation . . . . . . . . 96 3.3 Far Field Patterns and Far Field Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.4 Measures of Antenna Performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4 The Synthesis Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.1 Introductory Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.2 Remarks on Ill-Posed Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.3 Regularization by Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.4 The Tikhonov Regularization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.5 The Synthesis Problem for the Finite Linear Line Source . . . . . 133 4.5.1 Basic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.5.2 The Nystr¨om Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.5.3 Numerical Solution of the Normal Equations . . . . . . . . . . 137 4.5.4 Applications of the Regularization Techniques . . . . . . . . . 138 5 Boundary Value Problems for the Two-Dimensional Helmholtz Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 5.1 Introduction and Formulation of the Problems . . . . . . . . . . . . . . 145 5.2 Rellich’s Lemma and Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.3 Existence by the Boundary Integral Equation Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 5.4 L2-Boundary Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 5.5 Numerical Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 5.5.1 Nystr¨om’s Method for Periodic Weakly Singular Kernels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 5.5.2 Complete Families of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 5.5.3 Finite Element Methods for Absorbing Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 5.5.4 Hybrid Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 6 Boundary Value Problems for Maxwell’s Equations . . . . . . . . 185 6.1 Introduction and Formulation of the Problem . . . . . . . . . . . . . . . 185 6.2 Uniqueness and Existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 6.3 L2-Boundary Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Contents VII 7 Some Particular Optimization Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 7.1 General Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 7.2 Maximization of Power . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 7.2.1 Input Power Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 7.2.2 Pointwise Constraints on Inputs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 7.2.3 Numerical Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 7.3 The Null-Placement Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 7.3.1 Maximization of Power with Prescribed Nulls . . . . . . . . . 213 7.3.2 A Particular Example – The Line Source . . . . . . . . . . . . . 216 7.3.3 Pointwise Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 7.3.4 Minimization of Pattern Perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . 221 7.4 The Optimization of Signal-to-Noise Ratio and Directivity . . . . 226 7.4.1 The Existence of Optimal Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 7.4.2 Necessary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 7.4.3 The Finite Dimensional Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 8 Conflicting Objectives: The Vector Optimization Problem . 239 8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 8.2 General Multi-criteria Optimization Problems . . . . . . . . . . . . . . . 240 8.2.1 Minimal Elements and Pareto Points. . . . . . . . . . . . . . . . . 241 8.2.2 The Lagrange Multiplier Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 8.2.3 Scalarization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 8.3 The Multi-criteria Dolph Problem for Arrays . . . . . . . . . . . . . . . . 250 8.3.1 The Weak Dolph Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 8.3.2 Two Multi-criteria Versions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 8.4 Null Placement Problems and Super-gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 8.4.1 Minimal Pattern Deviation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 8.4.2 Power and Super-gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 8.5 The Signal-to-noise Ratio Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 8.5.1 Formulation of the Problem and Existence of Pareto Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 8.5.2 The Lagrange Multiplier Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 8.5.3 An Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 A Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 A.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 A.2 Basic Notions and Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 A.3 The Lebesgue Integral and Function Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 A.3.1 The Lebesgue Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 A.3.2 Sobolev Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 A.4 Orthonormal Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 A.5 Linear Bounded and Compact Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 A.6 The Hahn-Banach Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 A.7 The Fr´echet Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 A.8 Weak Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 VIII Contents A.9 Partial Orderings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327