Sampling methods: exercises and solutions

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Population, variable and function of interest . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Sample and sampling design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.4 Horvitz-Thompson estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Simple Random Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1 Simple random sampling without replacement . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Simple random sampling with replacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Exercise 2.1 Cultivated surface area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Exercise 2.2 Occupational sickness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Exercise 2.3 Probability of inclusion and design with replacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Exercise 2.4 Sample size . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Exercise 2.5 Number of clerics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Exercise 2.6 Size for proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Exercise 2.7 Estimation of the population variance . . . . . . . . . . 14 Exercise 2.8 Repeated survey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Exercise 2.9 Candidates in an election. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Exercise 2.10 Select-reject method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Exercise 2.11 Sample update method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Exercise 2.12 Domain estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Exercise 2.13 Variance of a domain estimator . . . . . . . . . . . . . . . 23 Exercise 2.14 Complementary sampling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Exercise 2.15 Capture-recapture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Exercise 2.16 Subsample and covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Exercise 2.17 Recapture with replacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Exercise 2.18 Collection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Exercise 2.19 Proportion of students . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 VIII Contents Exercise 2.20 Sampling with replacement and estimator improvement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Exercise 2.21 Variance of the variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3 Sampling with Unequal Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.1 Calculation of inclusion probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2 Estimation and variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Exercise 3.1 Design and inclusion probabilities . . . . . . . . . . . . . . 60 Exercise 3.2 Variance of indicators and design of fixed size . . . . 61 Exercise 3.3 Variance of indicators and sampling design . . . . . . 61 Exercise 3.4 Estimation of a square root . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Exercise 3.5 Variance and concurrent estimates of variance . . . . 65 Exercise 3.6 Unbiased estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Exercise 3.7 Concurrent estimation of the population variance . 69 Exercise 3.8 Systematic sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Exercise 3.9 Systematic sampling of businesses . . . . . . . . . . . . . . 72 Exercise 3.10 Systematic sampling and variance . . . . . . . . . . . . . 73 Exercise 3.11 Systematic sampling and order . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Exercise 3.12 Sunter’s method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Exercise 3.13 Sunter’s method and second-order probabilities . . 79 Exercise 3.14 Eliminatory method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Exercise 3.15 Midzuno’s method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Exercise 3.16 Brewer’s method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Exercise 3.17 Sampling with replacement and comparison of means . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Exercise 3.18 Geometric mean and Poisson design . . . . . . . . . . . 90 Exercise 3.19 Sen-Yates-Grundy variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Exercise 3.20 Balanced design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Exercise 3.21 Design effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Exercise 3.22 Rao-Blackwellisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Exercise 3.23 Null second-order probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Exercise 3.24 Hلjek’s ratio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Exercise 3.25 Weighting and estimation of the population size . 105 Exercise 3.26 Poisson sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Exercise 3.27 Quota method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Exercise 3.28 Successive balancing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Exercise 3.29 Absence of a sampling frame . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4 Stratification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.2 Estimation and variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Exercise 4.1 Awkward stratification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Exercise 4.2 Strata according to income . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Contents IX Exercise 4.3 Strata of elephants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Exercise 4.4 Strata according to age . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Exercise 4.5 Strata of businesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Exercise 4.6 Stratification and unequal probabilities . . . . . . . . . . 132 Exercise 4.7 Strata of doctors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Exercise 4.8 Estimation of the population variance . . . . . . . . . . . 140 Exercise 4.9 Expected value of the sample variance . . . . . . . . . . 143 Exercise 4.10 Stratification and difference estimator . . . . . . . . . . 146 Exercise 4.11 Optimality for a domain. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Exercise 4.12 Optimality for a difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Exercise 4.13 Naive estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Exercise 4.14 Comparison of regions and optimality . . . . . . . . . . 151 Exercise 4.15 Variance of a product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Exercise 4.16 National and regional optimality . . . . . . . . . . . . . . 154 Exercise 4.17 What is the design? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 5 Multi-stage Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 5.1 Definitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 5.2 Estimator, variance decomposition, and variance . . . . . . . . . . . . 159 5.3 Specific case of sampling of PU with replacement . . . . . . . . . . . . 160 5.4 Cluster effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Exercise 5.1 Hard disk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Exercise 5.2 Selection of blocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Exercise 5.3 Inter-cluster variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Exercise 5.4 Clusters of patients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Exercise 5.5 Clusters of households and size . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Exercise 5.6 Which design? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Exercise 5.7 Clusters of households . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Exercise 5.8 Bank clients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Exercise 5.9 Clusters of households and number of men . . . . . . . 179 Exercise 5.10 Variance of systematic sampling . . . . . . . . . . . . . . . 186 Exercise 5.11 Comparison of two designs with two stages . . . . . 189 Exercise 5.12 Cluster effect and variable sizes . . . . . . . . . . . . . . . 194 Exercise 5.13 Variance and list order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 6 Calibration with an Auxiliary Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 6.1 Calibration with a qualitative variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 6.2 Calibration with a quantitative variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Exercise 6.1 Ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Exercise 6.2 Post-stratification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Exercise 6.3 Ratio and accuracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 Exercise 6.4 Comparison of estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Exercise 6.5 Foot size . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 X Contents Exercise 6.6 Cavities and post-stratification . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Exercise 6.7 Votes and difference estimation . . . . . . . . . . . . . . . . 225 Exercise 6.8 Combination of ratios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Exercise 6.9 Overall ratio or combined ratio. . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Exercise 6.10 Calibration and two phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Exercise 6.11 Regression and repeated surveys . . . . . . . . . . . . . . 251 Exercise 6.12 Bias of a ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 7 Calibration with Several Auxiliary Variables . . . . . . . . . . . . . . . 263 7.1 Calibration estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 7.2 Generalised regression estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 7.3 Marginal calibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Exercise 7.1 Adjustment of a table on the margins . . . . . . . . . . . 265 Exercise 7.2 Ratio estimation and adjustment . . . . . . . . . . . . . . . 266 Exercise 7.3 Regression and unequal probabilities . . . . . . . . . . . . 272 Exercise 7.4 Possible and impossible adjustments . . . . . . . . . . . . 278 Exercise 7.5 Calibration and linear method . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 Exercise 7.6 Regression and strata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Exercise 7.7 Calibration on sizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Exercise 7.8 Optimal estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 Exercise 7.9 Calibration on population size . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 Exercise 7.10 Double calibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 8 Variance Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 8.1 Principal techniques of variance estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 8.2 Method of estimator linearisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 Exercise 8.1 Variances in an employment survey . . . . . . . . . . . . . 295 Exercise 8.2 Tour de France. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 Exercise 8.3 Geometric mean. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 Exercise 8.4 Poisson design and calibration on population size . 301 Exercise 8.5 Variance of a regression estimator . . . . . . . . . . . . . . 304 Exercise 8.6 Variance of the regression coefficient . . . . . . . . . . . . 306 Exercise 8.7 Variance of the coefficient of determination . . . . . . 310 Exercise 8.8 Variance of the coefficient of skewness . . . . . . . . . . . 311 Exercise 8.9 Half-samples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 9 Treatment of Non-response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 9.1 Reweighting methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 9.2 Imputation methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 Exercise 9.1 Weight of an aeroplane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 Exercise 9.2 Weighting and non-response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 Exercise 9.3 Precision and non-response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 Contents XI Exercise 9.4 Non-response and variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 Exercise 9.5 Non-response and superpopulation. . . . . . . . . . . . . . 349 Table of Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 Normal Distribution Tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 List of Tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 List of Figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 Author Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379