کاربرد ابعادی از زنجیره مارکوف در مدل سینتیکی از خردایش و دانه بندی Application of multi-dimensional Markov chains to model kinetics of grinding with internal classification
- نوع فایل : کتاب
- زبان : فارسی
- ناشر : الزویر (Elsevier)
- چاپ و سال / کشور: 2004
توضیحات
چاپ شده در مجله فرآوری مواد معدنی (mineral processing)
رشته های مرتبط: معدن، فرآوری مواد معدنی
برای توصیف انتقال ذرات در امتداد مختصات اصلی در یک آسیاب و انتقال ذرات از یک بخش به بخش دیگر مدل زنجیره ای دو بعدی Markov پیشنهاد شده است که با استفاده از این مدل می توان تمام پارامترهای خردایش در یک آسیا که به صورت پیوسته کار می کند برای یک حالت پایدار و همچنین برای یک دوره گذار محاسبه کرد.در این مدل با استفاده از ماتریسی که از خردایش و دانه بندی تشکیل شده است به طور معمول برای توصیف این فرآیند استفاده می شود. بحث هدف از این تحقیق دستیابی به یک مدل ریاضی برای محاسبه و تجزیه و تحلیل خردایش پیوسته همراه با حرکات تصادفی ذره در داخل آسیاب است از آنجا که فرایند خردایش نیز یک فرآیند تصادفی است بنابراین ما انتطباق این دو فرآیند تصادفی را خواهیم داشت و ابزار مناسبی که برای این منظور استفاده می شود استفاده از زنجیره مارکوف است.تئوری مارکوف برای مدل سازی دانه بندی و خردایش موفق بود.در عین حال با مشکلاتی نیز همراه بود. زنجیر مارکوف نمونه یک فرآیندی است که با در نظر گرفتن فضای نمونه ای از یک مسئله (مجموعه از همه نتایج ممکن از یک فرآیند تصادفی) محدود می شود.مدل زنجیره ای مارکوف وقتی که زمان به صورت مقادیر مجزا داده شود ساده می شودولذا ماتریس احتمال انتقال ذره و ماتریس جبر ابزار اولیه برای مدل سازی یک فرآیند می باشد.استفاده از این مدل برای محاسبه زمان ماند توزیع ذرات در داخل آسیاب های مختلف وبرای پارامتر های دیگر خردایش مناسب بود با این حال این مدل ها در مختصات فضایی و تغییر در اندازه ذرات به طور جداگانه بررسی شده است. اصل مفهوم و معادلات حاکم به منظور ساخت یک مدل ساده با فرض اینکه جریان ذرات از یک فضای خردایش به وسیله یک مدل یک بعدی با مختصات Y توصیف شود.همچنین با فرض اینکه طول آسیاب از n بخش و n فضا از سلول های کاملاً مخلوط تشکیل شده است.توزیع انداز ذرات با بخش هایی با اندازه m و با عرض محدوداست.بنابراین یک ذره در داخل آسیاب می تواند متعلق به یکی از بخش های فضایی با توجه به رنج اندازه ذرات در نظر گرفته شده باشد.که حالت کلی این فرآیند در شکل یک نشان داده شده است. تعداد m×n سلول ارائه شده در داخل آسیاب (خردایش) است. همچنین یک ستون بیشتر از سلول های مشخص شده با شاخص “a ” و به عنوان حالت جاذب (ذرات کوچکی که به هم جذب شده اند) نشان داده شده است که مجموعاً ۲D آرایه از سلول ها با ابعاد m×(n+1) تشکیل شده است.مجموعه فضای نمونه ای سلول های تشکیل شده در این مسئله :شعامل تمامی فرآیندهای تصادفی حرکت یک ذره به داخل آسیاب به بخش هایی با اندازه بزرگتر.یک ماتریس باید مجموعه ای از احتمالات که ممکن است به وجود آید را داشته باشد به طوری که ماتریس S_ij احتمال اینکه ذره در سلول ij اشغال شده است را نشان می دهد و بدیهی است که جمع تمامی این احتمالات برابر صفر است. هدف از یک مدل با در نظر گرفتن زمان به صورت پیوسته پیش بینی حالت ماتریس در یک لحظه از زمان tاست اگر ماتریس داده شده در t=T_0 (معمولاً۰= T_0) است با این حال مدل زیر با گسسته گرفتن لحظات۲ و k=1 وk∆t= t_k که در آن ∆t مدت زمان انتقال یا زمان انتقال است .بنابرای هدف از این مدل سازی پیش بینی حالت ماتریس بعد از k انتقال است در صورتی که حالت اولیه ماتریس داده شده باشد.تغییری که در حالت ماتریس بعد از انتقال صورت می گیرد ناشی از انتقال ذرات به سلول دیگر است (پیکان های شکل یک)در هر حال یک ذره احتمال دارد که در داخل سلول بماند با اندازه دیگری در ستون جابجا شود (خردایش صورت بگیرد)و انتقال رو به جلو و یا عقب در داخل ردیف داشته باشد. انتقال در داخل ستون با هر اندازه کوچکتر نسبت به اندازه اولیه (j=1 مربوط به بزرگترین بخش اندازه وکوچکترین اندازه -j = ) انتقال به بخش فیزیکی مربوط به سلول های همسایه است.یک ذره در یک سلول می تواند احتمال انتقال معینی را داشته باشد که مجموعه ای از تمامی این احتمالات انتقال به شکل ماتریس p نشان داده می شود ماترس p متشکل شده است ازn+1) )× (n+1) بلوک که ماتریس قطر اصلی ان شامل ماتریس احتمال انتقال در درون ستون که اندازه آن m×m است و ماتریس احتمال انتقال برای انتقال رو به جلو و عقب در ردیف های سلول (بین ستون ها)که در همسایگی قطر اصلی قرار می گیرند.بنابراین اندازه ماتریس p شامل m(n+1)×m(n+1) می باشد.ستون های مربوط به حالت جذب توسط ماتریس واحد I ارائه شده استI=.P_aa هر ستون از ماتریس P حاوی همه امکان احتمال انتقال برای سلول ij است.برای توصیف احتمال انتقال ماتریس ST از یک حالت به حالت دیگر حالت برداری انتقال یافته ان به شکل زیر است. و اندازه S به شکلm×۱ n+1)) است و بعد از انتقال به حالت برداری خواهیم داشت واضح است که احتمال انتقال وابسته است به بخشی از اندازه مهمترین مشکل این است که آیا آنها وابسته به حالت ذره هستند یا نه.به هر حال ماتریس p می تواند به صورت مستقل در نظر گرفته شود و می توان تمامی فرایند مدل سازی را به صورت خطی در نظر گرفت جاییکه حالت برداری اولیه برای به دست آوردن ماتریس اولیه است.اگر تعداد ذرات در آسیاب زیاد باشد ماتریس احتمال می تواند توسط تمامی این ذرات اشغال شود که در نتیجه ذرات بر اساس مقداره اندازه و آن بخش از فضایی که اشغال کرده اند تقسیم بندی می شوند.اگر بر طبق مشاهدات ما کاملاٌ بخشی از مقدار جرم مد نظر به آسیاب تزریق شود و در ابتدا توزیع آن باشد پارامتر های فرایند به راحتی می تواند توسط رابطه های زیر بیان شود. مکان توقف ذرات در j امین بخش از فضای اشغال شده در اسیابهمچنین برای محاسبه حد اکثرظرفیت مکان توقف ذرات در jامین بخش از فضای داخل آسیاب توزیع بخشی از ذرات به طور کامل در داخل آسیاب مانند یک حالت ناپایدار است .یک مورد جالب تر در مورد بار دهی پیوسته به اسیاب است با فرض اینکه مقدار مواد در حال تزریق به داخل آسیاب بیش از بیش از مقدار سلول هایی است که توسط ماتریس ST^0 ویا حالت برداری S^0 است. سلول های پر شده از مواد پس از ۱،۲،۳و……Kومجموع همه حالات برداری با مجموعه خودشان داریم
رشته های مرتبط: معدن، فرآوری مواد معدنی
برای توصیف انتقال ذرات در امتداد مختصات اصلی در یک آسیاب و انتقال ذرات از یک بخش به بخش دیگر مدل زنجیره ای دو بعدی Markov پیشنهاد شده است که با استفاده از این مدل می توان تمام پارامترهای خردایش در یک آسیا که به صورت پیوسته کار می کند برای یک حالت پایدار و همچنین برای یک دوره گذار محاسبه کرد.در این مدل با استفاده از ماتریسی که از خردایش و دانه بندی تشکیل شده است به طور معمول برای توصیف این فرآیند استفاده می شود. بحث هدف از این تحقیق دستیابی به یک مدل ریاضی برای محاسبه و تجزیه و تحلیل خردایش پیوسته همراه با حرکات تصادفی ذره در داخل آسیاب است از آنجا که فرایند خردایش نیز یک فرآیند تصادفی است بنابراین ما انتطباق این دو فرآیند تصادفی را خواهیم داشت و ابزار مناسبی که برای این منظور استفاده می شود استفاده از زنجیره مارکوف است.تئوری مارکوف برای مدل سازی دانه بندی و خردایش موفق بود.در عین حال با مشکلاتی نیز همراه بود. زنجیر مارکوف نمونه یک فرآیندی است که با در نظر گرفتن فضای نمونه ای از یک مسئله (مجموعه از همه نتایج ممکن از یک فرآیند تصادفی) محدود می شود.مدل زنجیره ای مارکوف وقتی که زمان به صورت مقادیر مجزا داده شود ساده می شودولذا ماتریس احتمال انتقال ذره و ماتریس جبر ابزار اولیه برای مدل سازی یک فرآیند می باشد.استفاده از این مدل برای محاسبه زمان ماند توزیع ذرات در داخل آسیاب های مختلف وبرای پارامتر های دیگر خردایش مناسب بود با این حال این مدل ها در مختصات فضایی و تغییر در اندازه ذرات به طور جداگانه بررسی شده است. اصل مفهوم و معادلات حاکم به منظور ساخت یک مدل ساده با فرض اینکه جریان ذرات از یک فضای خردایش به وسیله یک مدل یک بعدی با مختصات Y توصیف شود.همچنین با فرض اینکه طول آسیاب از n بخش و n فضا از سلول های کاملاً مخلوط تشکیل شده است.توزیع انداز ذرات با بخش هایی با اندازه m و با عرض محدوداست.بنابراین یک ذره در داخل آسیاب می تواند متعلق به یکی از بخش های فضایی با توجه به رنج اندازه ذرات در نظر گرفته شده باشد.که حالت کلی این فرآیند در شکل یک نشان داده شده است. تعداد m×n سلول ارائه شده در داخل آسیاب (خردایش) است. همچنین یک ستون بیشتر از سلول های مشخص شده با شاخص “a ” و به عنوان حالت جاذب (ذرات کوچکی که به هم جذب شده اند) نشان داده شده است که مجموعاً ۲D آرایه از سلول ها با ابعاد m×(n+1) تشکیل شده است.مجموعه فضای نمونه ای سلول های تشکیل شده در این مسئله :شعامل تمامی فرآیندهای تصادفی حرکت یک ذره به داخل آسیاب به بخش هایی با اندازه بزرگتر.یک ماتریس باید مجموعه ای از احتمالات که ممکن است به وجود آید را داشته باشد به طوری که ماتریس S_ij احتمال اینکه ذره در سلول ij اشغال شده است را نشان می دهد و بدیهی است که جمع تمامی این احتمالات برابر صفر است. هدف از یک مدل با در نظر گرفتن زمان به صورت پیوسته پیش بینی حالت ماتریس در یک لحظه از زمان tاست اگر ماتریس داده شده در t=T_0 (معمولاً۰= T_0) است با این حال مدل زیر با گسسته گرفتن لحظات۲ و k=1 وk∆t= t_k که در آن ∆t مدت زمان انتقال یا زمان انتقال است .بنابرای هدف از این مدل سازی پیش بینی حالت ماتریس بعد از k انتقال است در صورتی که حالت اولیه ماتریس داده شده باشد.تغییری که در حالت ماتریس بعد از انتقال صورت می گیرد ناشی از انتقال ذرات به سلول دیگر است (پیکان های شکل یک)در هر حال یک ذره احتمال دارد که در داخل سلول بماند با اندازه دیگری در ستون جابجا شود (خردایش صورت بگیرد)و انتقال رو به جلو و یا عقب در داخل ردیف داشته باشد. انتقال در داخل ستون با هر اندازه کوچکتر نسبت به اندازه اولیه (j=1 مربوط به بزرگترین بخش اندازه وکوچکترین اندازه -j = ) انتقال به بخش فیزیکی مربوط به سلول های همسایه است.یک ذره در یک سلول می تواند احتمال انتقال معینی را داشته باشد که مجموعه ای از تمامی این احتمالات انتقال به شکل ماتریس p نشان داده می شود ماترس p متشکل شده است ازn+1) )× (n+1) بلوک که ماتریس قطر اصلی ان شامل ماتریس احتمال انتقال در درون ستون که اندازه آن m×m است و ماتریس احتمال انتقال برای انتقال رو به جلو و عقب در ردیف های سلول (بین ستون ها)که در همسایگی قطر اصلی قرار می گیرند.بنابراین اندازه ماتریس p شامل m(n+1)×m(n+1) می باشد.ستون های مربوط به حالت جذب توسط ماتریس واحد I ارائه شده استI=.P_aa هر ستون از ماتریس P حاوی همه امکان احتمال انتقال برای سلول ij است.برای توصیف احتمال انتقال ماتریس ST از یک حالت به حالت دیگر حالت برداری انتقال یافته ان به شکل زیر است. و اندازه S به شکلm×۱ n+1)) است و بعد از انتقال به حالت برداری خواهیم داشت واضح است که احتمال انتقال وابسته است به بخشی از اندازه مهمترین مشکل این است که آیا آنها وابسته به حالت ذره هستند یا نه.به هر حال ماتریس p می تواند به صورت مستقل در نظر گرفته شود و می توان تمامی فرایند مدل سازی را به صورت خطی در نظر گرفت جاییکه حالت برداری اولیه برای به دست آوردن ماتریس اولیه است.اگر تعداد ذرات در آسیاب زیاد باشد ماتریس احتمال می تواند توسط تمامی این ذرات اشغال شود که در نتیجه ذرات بر اساس مقداره اندازه و آن بخش از فضایی که اشغال کرده اند تقسیم بندی می شوند.اگر بر طبق مشاهدات ما کاملاٌ بخشی از مقدار جرم مد نظر به آسیاب تزریق شود و در ابتدا توزیع آن باشد پارامتر های فرایند به راحتی می تواند توسط رابطه های زیر بیان شود. مکان توقف ذرات در j امین بخش از فضای اشغال شده در اسیابهمچنین برای محاسبه حد اکثرظرفیت مکان توقف ذرات در jامین بخش از فضای داخل آسیاب توزیع بخشی از ذرات به طور کامل در داخل آسیاب مانند یک حالت ناپایدار است .یک مورد جالب تر در مورد بار دهی پیوسته به اسیاب است با فرض اینکه مقدار مواد در حال تزریق به داخل آسیاب بیش از بیش از مقدار سلول هایی است که توسط ماتریس ST^0 ویا حالت برداری S^0 است. سلول های پر شده از مواد پس از ۱،۲،۳و……Kومجموع همه حالات برداری با مجموعه خودشان داریم
Description
Abstract To describe the particle transport (including classification) along the main coordinate in a mill and the transition from one fraction to another (grinding), a two-dimensional Markov chain model is proposed. It allows fast calculation of all parameters of continuous grinding process in a mill for a steadystate regime as well as for a transient period. The model employs matrices of grinding and classification that are normally used for description of these processes. The model is based on standard manipulations with matrices that can be done easily using modern computer codes. D 2004 Elsevier B.V. All rights reserved. Keywords: multi-dimensional Markov chain; model kinetics; grinding; internal classification 1. Introduction The objective of the present study is to develop a convenient mathematical tool for computational analysis of a process of continuous grinding accompanied by stochastic motion of particles in a grinding chamber. Since the process of grinding is also a stochastic process, we have a superposition of two stochastic processes that should be described. One convenient tool for this purpose that is at disposal is the theory of Markov chains. A Markov process is a process for which, if the present is given, the future and the past are independent of each other. Sometimes they say that a Markov process bdoes not keep the memory on its pastQ, or characterise it as a process without aftereffect. In terms of differential equations it means that the equations must contain derivatives with respect to time not higher than of the first order. The theory of Markov processes was successfully applied to modelling classification and grinding (Molerus, 1967; Nepomnyastchii, 1973; Pippel and Phillipp, 1977 and many others). However, most of the first papers were devoted to mathematical aspects of the problem, and were very difficult for engineering application. The difficulties usually followed 0301-7516/$ – see front matter D 2004 Elsevier B.V. All rights reserved. doi:10.1016/j.minpro.2004.07.004 * Corresponding author. E-mail address: mizonov@home.ivanovo.ru (V.E. Mizonov). Int. J. Miner. Process. 74S (2004) S307 – S315 www.elsevier.com/locate/ijminpro from presentation of a process as one with continuously distributed parameters and continuous time. In this case the governing equation of the process is a partial differential equation of parabolic type that needs a lot of far going assumptions for obtaining an analytical solution, and usually does not allow describing nonlinear effects. A Markov chain is an important and simple example of a Markov process. It considers the sample space of a problem (the set of all possible outcomes of a random process) to be finite. A Markov chain model becomes particularly simple when it deals with presentation of time as a discrete value. In this case all the description is reduced to the matrix of transition probabilities, and matrix algebra becomes the basic tool for modelling a process.
