Pricing and risk management of synthetic CDOs

Part I Fundamentals 2 Credit Derivatives and Markets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1 Credit Risk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Traditional Credit Instruments .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2.1 Loans .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2.2 Bonds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3 General Aspects on Credit Derivatives .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3.1 Definition and Classification of Credit Derivatives . . . . . . . . . 11 2.3.2 Reasons for Participation in Credit DerivativeMarket . . . . . 13 2.3.3 Risks in Credit Derivatives Market . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4 Single Name Credit Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4.1 Credit Default Swap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4.2 Credit Default Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4.3 Total Return Swap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4.4 Credit Spread Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.5 Multi-Name Credit Derivatives .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5.1 Kth-to-Default Swap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5.2 Portfolio Credit Default Swap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.6 Credit Linked Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.7 Securitization-Based Multi Name Credit Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.7.1 Definition and Functionality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.7.2 Reasons for the Utilization of Securitization . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.7.3 Risks Related to Securitization Market . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.7.4 Classification of CDOs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.7.5 True Sale CDO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.7.6 Synthetic CDO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.8 CDS Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.8.1 iTraxx Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.8.2 CDX Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.9 Credit Derivatives Markets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.9.1 Evolution of the Market . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.9.2 Market Participants .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.9.3 Market Breakdown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.10 Securitization Markets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.10.1 Evolution and Size. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.10.2 Market Breakdown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.11 Sub-Prime Crisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.11.1 Causes of the Crisis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.11.2 Impact of the Crisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.11.3 Efforts on Crisis Fighting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3 Mathematical Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.1 Stochastic Calculus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.1.1 Probability Spaces and Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.1.2 Stochastic Differential Equations .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.1.3 Equivalent Measure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.2 Modeling Single-Name Defaults with the Intensity Models . . . . . . . . . 73 3.2.1 Default Intensity Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.2.2 Valuation of Single Name Credit Default Swaps . . . . . . . . . . . 76 3.2.3 Estimation of the Default Intensity of Credit Default Swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.3 Hidden Markov Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.4 Rating Migration Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.5 Portfolio Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.5.1 Mean-Variance Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.5.2 Conditional Value at Risk Approach.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Part II Static Models 4 One Factor Gaussian Copula Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.1 General Valuation Framework for Synthetic CDOs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.2 Vasicek Model of Credit Portfolio: Large Homogeneous Portfolio Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.2.1 One Factor Gaussian Copula Model of Correlated Defaults 98 4.2.2 Loss Distribution of the Large Homogeneous Portfolio Under One Factor GaussianModel . . . . . . . . . . . . . . .100 4.2.3 Loss Distribution of the Large Homogeneous Portfolio Under a General One FactorModel . . . . . . . . . . . . . . .103 4.2.4 Analytic Expression for Expected Tranche Loss Under VasicekModel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.2.5 Expected Tranche Loss of a Portfolio with Non-Zero Recovery .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106 4.2.6 Correlation Smile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107 4.2.7 Base Correlation Approach for Valuation of Off-Market Tranches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111 4.3 Overview of the Extensions of the Vasicek Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117 4.3.1 Heterogeneous Finite Portfolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117 4.3.2 Different Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121 4.3.3 More Stochastic Factors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123 4.3.4 Comparison of the Calibration Results of the ExtensionModels in the Literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127 5 Normal Inverse Gaussian Factor Copula Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129 5.1 The Main Properties of the Normal Inverse Gaussian Distribution ..129 5.2 Efficient Implementation of the NIG Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136 5.3 One Factor NIG Copula Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141 5.4 CDO Valuation Using the One Factor NIG Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144 5.5 Calibration and Descriptive Statistics of the One Factor NIGModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147 Part III Term-StructureModels 6 Term Structure Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167 6.1 Extension of the Base Correlation .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167 6.2 Term Structure One Factor NIG Copula Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170 6.3 Non-Standardized Term-Structure NIG Model Formulation .. . . . . . . .175 7 Large Homogeneous Cell Approximation for Factor Copula Models . .177 7.1 LHC Gaussian Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .178 7.2 LHC NIG Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181 7.3 Calibration of the LHC Models. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182 8 Regime-Switching Extension of the NIG Factor Copula Model . . . . . . . . .185 8.1 Note on Some Properties of the Term-Structure NIG Factor Copula Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185 8.2 Crash-NIG Copula Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .186 8.3 Valuation of CDO Tranches with the Crash-NIG Copula Model . . . .201 8.4 Calibration of the Crash-NIG Copula Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202 8.4.1 Data Description .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202 8.4.2 Calibration of the Model with Two States . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206 8.4.3 Calibration of the Model with Three States . . . . . . . . . . . . . . . . .216 9 Simulation Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .227 9.1 Rating Migration and Default Model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .228 9.2 Interest Rate Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .232 9.3 Credit Spread Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233 9.4 Case Study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235 9.4.1 Model Calibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235 9.4.2 Simulation of the Economic Factors and Pricing of the Credit Instruments.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .238 9.4.3 Asset Allocation Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .242 10 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .253 A Some Results in Chapter 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .257 A.1 Proof of Proposition 4.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .257 A.2 Proof of Proposition 4.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .258 A.3 Lemma on Change of Limit and Integration Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . .258 A.4 Proof of Lemma on Expected Tranche Loss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .259 B Normal Inverse Gaussian Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263